トップページ＞2010京都大学理系数学入試問題分析   【問題】 第1問 第2問 第3問 第4問 第5問 第6問 【総評】 昨年に比べるとずいぶん易化しました。おそらく出題者は、標準的な問題を最後まできちんと論証していく力をみ てみたいんでしょうね。 それだけに、ミスは許されません。計算ミスはご法度です！ 図形の比重が大きいのも特徴的ですね。図形問題は、①幾何学的処理か②代数学的処理かどちらでいった方が シンプルになるかよく考えることが重要です。 京都大学の場合は①の処理でいくとうまく解決する問題が多い気がします。 では、さっそく一問一問ていねいに分析していきましょう。  第1問  【ポイント】 まず作図をして問題文を具体的にイメージすることです。この問題は空間ベクトルですから１次独立の関係にあ る３本の位置ベクトルを決めることと、平面と直線との垂直条件の２点がポイントです。 京大を受験する学生さんなら必ずゲットすべき問題でしょう。絶対に完答しないといけませんね。 なお、平面と直線との垂直条件は今年の東京大学理系第６問でも出題されています。  第２問  【ポイント】 ∠APBの最大値を求める方法としてまず気付くのは、なす角問題ですから（１）ベクトルの内積 （２）tanの加法 定理のどちらかですよね。ここでは、（２）でいくとうまく解けます。 ただ、純粋に幾何学的処理でいっても解けるんじゃないでしょうか。すなわち、点A,B,Pを通る円の大小を調べて ∠APBの最大値をビジュアル的に解いていく方法です。 【総評】でも言いましたが、京大はこの幾何学的処理の問題が多く出題されています。  第3問  【ポイント】 ちっともひねりのない問題です。グラフを描いて2曲線の位置関係を調べ、2曲線の交点のx座標を文字でおくだ けです。 血気盛んに入試会場に突撃して行った受験生は、さぞかし拍子抜けしたことでしょう。  絶対絶対絶対に落としてはならない問題です。  第4問  【ポイント】 まず、きちんと作図してイメージすることです。外接円の半径が分かっていますから、正弦定理が利用できるこ とはすぐに気がつきますよね。 あとは、加法定理で処理することもできますが、やはりここでも幾何学的処理でいきます。それは、補助線を1本 引く方法です。  第5問  【ポイント】 （１）は「自然数n～」の問題ですから数学的帰納法をすぐにアウトプットしたいですね。（２）は当然に（１）を利用す るんですが、その利用の仕方が難しいですね。 こういった連番形式の問題は必ず前の問題を踏まえて解くんですが、難関大学の問題では結構飛躍があってリ ンクすることが難しいときがあります。右脳を利用しないといけないんです。 この問題もそうじゃないでしょうか。    第6問  【ポイント】 前半の確率を求めるところは、絵を描いて具体的にイメージすれば何の問題もなく解決しますね。全体の場合 の数は重複順列で、どの箱にも１個以下のボールしか入っていない場合の数は順列でカウントします。 後半の極限は 1/n が見えていますから、区分求積法の利用がバレバレですよね。  これで、2010年入試問題分析は終ります。 お疲れさまでした・・・・・・・ （解答解説：ゆうき）  |
