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2.数学的帰納法


  まず、数学的帰納法の目次カードは次のようになります。

侍 目次  (数学的帰納法)

 @基本編
 (1)等式 (2)不等式 (3)倍数 (4)漸化式

 A応用編
 (1)k≧1でない (2)下2段仮定 (3)数段上がり
 (4)下全段仮定 (5)戻りの帰納法 
 

  「目次」を見るといろいろなパターンがあって「いやだな〜」って思いますが、数学的帰納法の考え
  方(本質)はどんなパターンでもすべて同じです。
  この共通の考え方(本質) 「ひらめきツール(4)」を押さえてしまえばそれほど難しいテーマでは
  ありませんよ。

  あと、この本質部分を「階段」「ドミノ倒し」でいつもイメージできるようにすれば
  「ひらめきツール(2)」、鬼に金棒ですね(ここでは階段でイメージします)

  そこで、各パターンにいくまえに、まずこの「本質」と「階段によるイメージ」をきちんと理解して
  もらいましょう。
  なんといっても、ここが一番重要なんですから・・・・・
                                                        重〜要〜



  数学的帰納法ってな〜に?
  まず「帰納」とはなにか? 辞書で調べてみると「一つ一つの具体的な事実から共通点を求め、一般
  的な法則を
導き出すこと」とあります。
  対義語は「演繹」です。これは「一般的な法則から、一つ一つの特殊な事実を推理すること」です。
   まったく正反対の論理ですね。

  数学的帰納法とは「帰納」の名のとおり、一つ一つの具体的な 自然数についてある命題が成り立つ
  事実から、すべての自然数について一般的にその命 題が成り立つことを導き出すんです。
  といっても分かりにくいと思いますので、具体的な問題を通してビジュアル的に捉えていきましょう。

  例題

  教科書に載っている超基本の問題ですが、この問題を通して「帰納法の本質」と「階段によるイメ
  ージ」が完璧になります。
  ふだんネットライブ授業で使っている黒板で解説していきます。
  解説

  上の黒板に書いた「本質」を理解すれば、@基本編はもちろんのこと、A応用編もスンナリと理解
  できるはずです。

  では、@基本編からはじめましょうか。

  @基本編
   (1)等式
   さっき例題で出した問題も等式証明ですよね。練習がてら、つぎの問題を(第1部)と(第2部)
   の2部構成できちんと答案作成してみてください。 先程の(注)1〜3に気を付けてね。
   基本編1

   解答は、ここをクリックしてね。
                         




   それじゃあ、つぎは不等式にいってみましょう!

   (2)不等式
   まずは問題から・・・
   不等式

   不等式は等式よりは難しいと感じる人が多いみたいです。それは、(第2部)の n=k のとき仮定
   した部分を次のn=k+1 でどう利用したらいいのかわからなくなることが原因みたいです。

   よく覚えておいて下さい。不等式の証明は「3段論法」で簡単にかたづけられます。
   「3段論法」にもいろんな型があるんですが、ここでは「A>B、B>C ならば A>C」ということ
   で十分です。このあまりにも当たり前のことを利用すれば不等式の証明は難なく解くことがで
   きます。

   解答は、ここをクリックしてくださいね。よ〜く考えてから・・・
                                        



   それじゃ、つぎは倍数問題にいってみましょう!

   (3)倍数
   まずは問題をみてみましょうか。
   倍数

   この倍数バージョンも苦手としている人がいますね。やはり不等式と同じように、(第2部)の
   n=k のとき仮定した部分の利用の仕方がわからないということです。

   慣れれば簡単です。仮定した式を等式変形して n=k+1 の証明で利用すれば必ず上手くいきます。
   ちょっと、練習してみてください。

   解答は、ここをクリックしてください。
                                         


   それじゃ、基本編の最後の問題、漸化式にいってみましょう!

   (4)漸化式
   問題をみてみましょう。
   漸化式

   本来、漸化式は式変形等のマニュアルできれいに解けるほうがめずらしい(もっとも入試ではそのめず
    らしい方の漸化式がよく出題されますが・・・)

   難関大学では、暗記通りのマニュアルで解ける問題ではなく、一般項を予測してから数学的帰納
   法で証明するこのパターンが出題されるので注意してください。
   ところで、難関大学で出題された場合、問題文には「一般項を予測し・・」 なんてことは書い
   てありませんよ。あしからず・・・・・

   解答は、ここをクリックしてくださいね。
                               


   @基本編は以上で終了です。   おつかれさまでした・・・・・おつかれさん




   では、A応用編にいきましょう。基本編でのべた「本質」「階段によるイメージ」がきちんと
   できていれば、スンナリ理解できます。


   A応用編
   (1)k≧1でない
   問題をみてみましょう。 この問題は、名古屋市立大学で出題されたものです。
   応用(1)
      
   パッと見では数学的帰納法は関係ないように思えますが、やはりキー・ワード「自然数n・・・」
   
の問題ですから帰納法はアウトプットできるようにしたいですね。
   実際、nに具体的に1、2、3、・・・と代入していくと、ある数以上は不等号の向きが固定され
   ることがわかってきます。
   そうです! そこからが数学的帰納法の出番です!!

   よ〜く考えてから、ここをクリックしてください。
                                     


   それじゃ、つぎに下2段仮定の問題です。

   (2)下2段仮定
   問題をみてみましょう。このパターンはいろいろな大学で出題されています。
   下2段仮定

   この問題は、(第2部)で n=k を仮定してつぎの n=k+1 のときも成り立つことを証明しようと
   してもうまくいかないことがやっていて気付くと思います。 しまった〜、もう1段仮定しとかな
   きゃ〜って。数学的帰納法の本質が見えている人はすぐにこのことに気付くはずです。

   よくよく考えて、ここをクリックしてください。
                               
   下2段仮定問題は2002年九州大学文系3a(前期)で出題されています。



   さらにつぎの問題にいきましょう。

   (3)数段上がり
   問題をみてみましょう。おもしろい問題ですよ。
   数段上がり

   この問題は、nが1,2,3,□,5,6,7,□,9,・・・のときに10の倍数となることを証明するものです。
   この4の倍数のときだけは除かれることを帰納法でどう表現していくか? これがポイントとなり
   ます。


   めちゃめちゃ考えてから、ここをクリックしてください。
                                     
   
   
   さあ、もうちょっとガンバッテつぎの問題にいきましょう。

   (4)下全段仮定
   問題をみてみましょう。これは早稲田大学で出題されたものです。
   下全段仮定

   この問題も(2)と同じように、(第2部)で n=k のとき仮定してから n=k+1 のときも成り立つ
   ことを証明するといういつものパターンでは処理できないんです。
   なぜって? それはΣがあるため下ぜ〜んぶを仮定しておかないといけないからです。
   やってみれば分かると思いますよ。

   考えてから、ここをクリックしてね。
                            
   このパターンは、2010年京都大学(理系甲)でも出題されています。みてみましょう。
   2010京都大学

   まさに「Σがあるため下ぜ〜んぶを仮定しましょう」の問題ですよネ。

   解答は、ここをクリックしてください。


   いよいよ最後の問題です。

   (5)戻りの帰納法
   戻る? いったい何のこと? って感じですね。
   この2006年前期九州大学の問題をみてください。
   戻りの帰納法

   実はこの問題は、かつて京都大学でも出題されたんです。まったく同じ問題です。
   なにが「戻る」なのか、よ〜く考えてみてください。

   涙が出るほど考えてから、ここをクリックしてください。
                                      




   どうですか? いろいろなパターンは結局「帰納法の本質」「階段によるイメージ」で対処す
   ることができることが分かるでしょ。
   これ以外のパターンも大学入試では出題されるでしょうが、「自然数nについて〜」とくれば
   「あっ、数学的帰納法だな!」とアウトプットできるようにすることと、(第2部)の証明でどこの
   部分を仮定しておけば証明することができるのかを「階段」で具体的にイメージすることがで
   きれば、きっと合格答案を書くことができますよ。

   最後に補足を!
   くどいようですが見た目が数学的帰納法じゃないようでも「自然数nについて〜」とくればコイツ
   を使うんじゃないかと疑ってかかることが重要ですよ。 A応用編(1)なんかそうでしたよね。
   そして、2010年京都大学(理系乙)のこの問題もまさにドンピシャリ帰納法の出番です。
   2010京都大学

   しっかり考えてから、ここをクリックしてください。
                                        



   復習をきちんと行って数学的帰納法を得点源にしてください。
   それじゃ、お疲れ様でした・・・・・・・・・・・・・おつかれさん
   
   

   
   










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