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1. 整数問題

  整数問題の目次カードは、くりかえし記載すると下のとおりですね。

侍 目次 (整数問題)

 @整数解問題
 A連続する r 個の整数の積
 B素数
 C剰余 類(合同式も同じ)
 D公約数と公倍数

  そこで、この順番どおりにみていきましょう。

  @ 整数解問題
    またまたここで、整数解問題の解法テクニックを再確認しておきましょう。

侍 整数解問題の解法テクニック

(@)積形に持ち込んで候補者をしぼれ(80%はコレ)
(A)積形が無理なら解の公式の√の中に着目せよ
(B)p≦q≦r のとき、1/p + 1/q + 1/r =1を満たす整数


    (@)の典型的問題は3つあります。この3つさえ知っていれば、入試で他の受験生よりも劣
    ることはないでしょう。 紹介します。 絶対、絶対この3つは脳味噌にインプットしてくだ
    さいね。怪獣

    整数解問題
    整数解問題
    整数解問題

    これらは、すべて「積形に持ち込んで候補者をしぼれ」なんですね。
    ここで、なぜ積形にすると候補者がしぼれるのか、これが理解できないと先には行けま
    せん。簡単なことなんですよ。
    たとえば、「x+y=2を満たす整数x, yをもとめよ」なんて言われても、そんなの無数の
    組があるから答えなんて確定しませんよね (x=1,000,000 y=−999,998でもいいんで
    す)。
    なんでもOKだから、問題になりません。
    でも、「xy=2を満たす整数x, yをもとめよ」って言われたら、これは絞り込めますよね。
    (x, y)=(1,2)(2,1)(-1,-2)(-2,-1)の4組しかありませんよね。

    ここが重要なんです。整数は積形に持ち込むと、候補者は極端にしぼれるんです。積形
    とは、整式でいえば因数分解ということですよね。
    とにかく、 (整数)×(整数)=(整数)、ここがポイントなんです。

    上の3つのパターンはすべてこの解法テクニックでOKです。
      3パターンの解答は、ここで す。 クリックする前に考えてね。   
                                         
    さあ、この3パターンのインプットで入試問題は解けるんでしょうか?
    2009年度入試問題を見てみましょうか。
    名古屋大学(理系・前期)4B番、お茶の水女子大学(理学部・前期)8番、一 橋大学(前期)
    1番は完璧にこのパターンになりますね。 っていうか、整数解問題は、極論すればこのパ
    ターンだけでも十分戦えると思いますよ。
    ただ、一橋大学の問題については、数値がデカイぶん、さらに絞込みをかけないと大変で
    す。ここが、やはり難関大学ですね。
    名古屋大学の問題は、(2)が整式の大小比較という他のテーマがからんでいる複合問題
    ですね。ちなみに、お茶の水女子大学8番の問題は名古屋大学の問題とウリ2つ。しかも、
    この問題は(パターン)そのものです。見てみて!
    お茶の水女子大学2009      
    これの解答については、ここをクリックしてね。

    以上見てきたとおり、整数解問題の中でも「積形に持ち込む」と いうパターンはとっても重要
    なんです。
    このパターンの本質部分(ひ らめきツール(4)は、 整数は積形に持ち込むと極端に候補者が絞
    れるという性質なんですね。単なる暗記ではなく、この本質をおさえておいてくださいね。

    最後に上記の本質をふまえたうえで、2010年大阪大学(理系・前期)の問題を解いてみましょ
    う。
    2010年大阪大学
    これの解答については、ここをクリックしてね。

    
    

    積形(因数分解)に持ち込めるときはいいんですが、それが不可能なときはどうすればいいん
    でしょうか?それがつぎの(A)の解法テクニックです。
    まずは、問題を見てみましょうか。
    整数解問題
    
    この問題は前述した(パターン3)と見た目は同じですよね。そこで、「1文字中心降べき順で
    〜」と一杯やりながら鼻歌まじり酒飲み  と思ったら・・・・・なんと!因数分解ができないじゃ
    ないですか!!
    解法テクニック(A)は、こんなときに強力な武器となってくれます。
    でも、これって別に目新しいことではなくて、ボクたちは2次方程式を解くとき「1.因数分解、
    それがダメなら 2.解の公式」という手順は高1の初っ端でやっていますよね〜。ここでも、
    その手順に従うだけなんです。

    NO.5の解答は、ここです。 クリックする前に考えてね。
                                         

    さあ、2009年度の入試問題を見てみましょうか。 旭川医科大学(後期)1番です。
    整数解問題

    この問題は厳密には、「積形(因数分解)が無理な問題」というより「積形(因数分解)にして
    はいけない問題」なんです。なぜって、小問(1)があるからです。
    小問(1)が、明らかに解の公式を使う以上、出題者の意図はこれを踏まえて解いてくれって
    いうことでしょうひらめき ツール(3)。 だから、勝手に暴走して因数分解して解くのはダメ
    でしょ う。解答では、別解として因数分解の方法も載せておきますけど・・・

    NO.6の解答は、ここです。 またまた、クリックする前に考えてね。
                                               




    前述の(@)(A)で整数解問題はかなりイケテマス。これぐらいでも、このテーマに関しては
    偏差値65はいっているでしょう。ここまできたら、「一杯〜」どころか「ぐでんぐでん〜」でも
    いいでしょう。  
                                        酒飲み親父
    ただ、たまに出題される(B)の解法テクニックはおさえておきたいですね。
    不等式の条件式が付加された整数解問題なんです。

    さっそく問題を見てみましょうか。
    整数解問題7

    条件式が等式の場合は「文字消去の方針で!」っていうのは、常套手段ですよね。
    でも、この問題は不等式なんです。 どうするの?
    実は、不等式であっても文字消去ができる!! っていうのがこの問題のポイントなんです。そこ
    が、山場でしてあとは(パターン1)となります。

    NO.7の解答は、ここです。 やっぱりクリックする前に考えてね。
                                              

    さあ、最近の入試問題を見てみましょう。 2006年度東京大学文系(前期)3番です。
    東京大学整数問題

    まさしく、不等式の条件式が付加された整数解問題ですね。ここでも、「文字消去」がポイント
    となりますよ。 しっかり考えてから、ここをクリックしてください。
                                             



    以上で、整数解問題は終了です。     カラス
    大切なのは、「目次カード」を作っ て全体を鳥瞰するようにし、それぞれのテーマについて
    「解法テクニック カ−ド」を作っていつでも見ることが できるようにしておくことなんですね。  
    そして、「ひらめきツール(4)」「各分野の底流にある本質をつかめ」も大切ですよ。
    「本質」=「共通の思想」と言い直してもいいかもしれませんが、問題なんてすべてのパターン
    を暗記することなんか精神的にも体力的にも無理ですよね。 だから、見た目がちがったり、
    飾り付けの多い入試問題でも、その分野の本質にさかのぼって考えるようにしてほしいんです。
    また、そのような姿勢は大学側の意向にも合致するはずです。
    
    入試の現場では、はじめて見るような問題が時々出題されますが、それは大学側が暗記一辺
    倒の生徒をふるいにかけたいからなんでしょうね。
    そりゃ、大学の先生は表層的な薄っぺらい知識しか持たない学生よりも、事の本質を理解して
    いる生徒を入学させたがってますよ。だって、そういう生徒のほうが大学で伸びるから。
    そういった意味で、日頃から「暗記」よりも「本質」を大切にする勉強のほうが合格には近づ
    くんではないでしょうか。相思相愛ということで・・・・・。なかよし

    なんて、講釈ばっかりしてたらみなさんに嫌われちゃいますよね。
    楽しく、おかしく、でも脳味噌を使う解説をしていきますのでヨロシクね。  オヤスミ




    
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