プロ家庭教師によるネッ ト学習










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   つづいて、「連続する r 個の整数の積」について見てみましょう。

  A 連続する r 個の整数の積
    このテーマでまず重要なのが、「連続する r 個の整数の積は r! の倍数になる」という性質です。

    これって、みなさん証明できますか?
    んん? 結論だけ覚えていればいいじゃん! って声が聞こえてきそうですが、前述したように
    公式等は必ず導けるようにしてくださいね。

    証明は、ここです。 すぐにクリックしないでね。
                                  
    このテーマは、「〜の倍数であることを示せ」系の問題が中心となります。そして、当たり前な
    んですけど、その倍数っていうのは、6の倍数か24の倍数のどちらかですよね。
    なぜって、3!=3×2×1 ですし、4!=4×3×2×1 ですからね。さすがに、5!=120の倍
    数である証明は出ないんじゃないでしょうか。わかりませんけど・・・・

    このテーマの解法テクニックは前述の「ひらめきツール(6)」と関連。下を見てください。
    
侍 連続するr個の整数〜の解法テクニック

   項を補って連続する部分をつくれ

    これだけですね。そういった意味では単純ですが、「補う」という発想は事前に準備しておかな
    いと、そう簡単にポンと出るもんじゃありません。こういったテーマでは、根底にある「ひらめき
    ツール」がとっても重要なんですね。

    では、問題を見てみましょう。
    連続する整数

    どうですか? 連続する部分を作ることはできますか? 意外と難しいですよ。

    NO.8の解答は、ここです。しっかり考えてからクリックしてね。
                                          

    「連続する r 個の整数の積」問題については、この程度で十分でしょう。  おやすみ







  では、次に 「素数」問題を見ていきましょう。

  B 素数
    このテーマで重要なのが、「素数」の定義ですね。 @整数解問題の中の問題NO.4でも素数が
    絡んできましたよね。 NO.4の解答でも書きましたが、
    「素数とは、1とその数自身以外に約数を持たない自然数のこと」です。そして、よく勘違いし
    ている人がいるんですが、「1は素数ではない」と いうことに注意してくださいね。  

    「素数」の解法テクニックは、いたってシンプルです。
    
侍  素数の解法テクニック

 (@)定義
 (A)積形に持ち込んで候補者をしぼれ!
    
    これだけです。(A)は整数解問題の(@)と同じですね。
    これって当たり前なんですよね。 素数って、約数に1と自分自身の数しか持たないために積形
    に持ち込んでしまうと極端に候補者がしぼれちゃうんですよね。だから、この性質を問う問題が
    よく出題されるんです。
    (@)の素数の定義が論点の問題はNO.10-2です。
    これ以外に、2004年度の一橋大学の問題は剰余類で説きます。でも(@)(A)だけおさえてお
    けばいいでしょう。
    

    問題を見てみましょうか。
    素数問題

    素数問題の代表作品ですね。これ1問で汎用性ありですね。
    しっかり考えて、ここをクリックしてください。
                                    
    さて、最近の入試問題をみてみましょうか。
    2007年度の千葉大学理学部(後期)6番の問題です。
    千葉大学入試問題

    もちろんこの問題も(A)「積形に持ち込んで・・」なんですが、なかなか手ごわい問題です。
    鼻血が出るまで考えてから、ここをクリックしてください。
                                       

    もう1問いきましょう。 2009年度の千葉大学(前期)11番の問題です。
    この問題は「積形に・・」というよりも(@)素数の定義をきちんと理解しているかを問う良問。    
    2009年度千葉大学
    (1)は自然数の中から素数を選び出す方法(エラトステネスの篩)がパッとリンクするかど
    うかですね。(2)(3)はともに直接に証明することが困難ですから、間接証明法(背理法)
    がアウトプットできるかが勝負の分かれ目です。「ひらめきツール (7)」「逆から見ると
    いうアイデア」
で すね。
    難関大学ほど「ひらめきツール」の利用が多くなってきます。それは何度も言っているよう
    に、暗記一辺倒の生徒をそれこそ「篩(ふるい)」にかけたいからですよね。

    がんばって挑戦してから、ここをクリックしてね。
                                   
    「素数」問題は、これで終わりです。おつかれさまでした・・・・・・・・・   居眠り







  では、次に 「剰余類」の問題をみてみましょう。これもホントによく出題されますよね。

  C 剰余類
    すべての整数を、ある整数で割った余りで分類する方法のことです。
    たとえば、3で割った余りで分類すると、すべての整数は 3k、3k+1、3k+2 (kは整数)のい
    ずれかに属しますよね。
    剰余類は、「〜の倍数であることを証明せよ」と いった問題でよく利用されます。
    便利ですから、ぜったいにマスターしてくださいね。

    なお、「合同式」もある整数で割った余りに着目するワザで、 a≡b(mod n) の記号を使いま
    す。これだと、剰余類に比べて飛躍的に記述量が少なくてすみます。とっても便利です。
    難関大学だと、知っておいたほうがいいかもしれませんね。実際、名古屋大学で出題された
    ことがあります。

    「合同式」がわかりやすく説明されている本は、「大学入試数学の裏ワザが面白いほど使え
    る本[TAUB]志田晶/著(中経出版)」です。
    気になる人は見てみるとよいと思います(本屋さんで立ち読みで・・・・・)

    さあ、剰余類の代表的な問題(数え切れないほどの大学で出題されてます)を見てみましょ う。
    剰余類問題

    「3の倍数」が論点になっていますから、3で割った余りで分類したいですね。
    しっかり考えてから、ここをクリックしてください。
                                       

    では、最新入試問題を見てみましょう。2008年神戸大学理系(前期) 3番の問題です。
    神戸大学2008年入試問題

    (1)は、まさしく剰余類でオシマイです。(2)(3)は連続する2つの整数は一方が偶数
    で他方が奇数ということに気づけば・・・・・・・・

    よ〜く考えてから、ここをクリックしてください。
                                 
    剰余類の問題は、2010年広島大学文系(前期)に 出題されています。みてみましょう。
    2010広島大学

    数列との融合問題ですが、まさに剰余類が聞かれている問題ですよね。

    解答は、ここを クリックしてください。
                             
    もう一丁、2010年千葉大学(前期)の問題もみてみましょう。
    2010千葉大学

    シンプルゆえに難しいですね。積形に持ち込むことと剰余類で攻めること、これらに気付くか
    どうかです。

    解答は、ここをクリックしてください。
                            
    ちょっと横道にそれますが、合同式が便利なツールであることをお見せします(NO.11の別解で
     も示しました が・・・)
     2003年度東京大学理系(前期)4番の問題です。
     2003年度東京大学入試問題

     (3)の周期性の証明を合同式で処理するとメチャクチャ簡単です。帰納法だと記述量が増
    えて大変・・・・・

     解答は、ここをクリックしてください。   考える人

  


   さあ、いよいよ最後のテーマ
「公約数・公倍数」が論点になっている問題です。 

  D 公約数・公倍数   
      頻出というわけではありませんが、おさえておかないと不安ですよね。

      解法テクニックは次の通りです。

侍 公約数・公倍数の解法テクニック

 (@)L.C.M.とG.C.M.の定義
 (A)ユークリッドの互除法
 (B)連続する2つの整数は互いに素
 (C)積形にもち込め
  
      (@)はものすごくあたりまえのことなんですが念のため。「L.C.M.(最小公倍数)とは、いく
    つかの整数の公倍数のうち、正で最小のもの」です。「G.C.M.(最大公約数)とは、公約数
    のうち、正で最大のもの」です。
     この定義から、3つの性質が導かれます。
    3つの性質
     (1)〜(3)とも定義から、とうぜんですよね。確かめておいてね。

      (A)は意外と知っていない人が多いです。たまに入試でも出題されます。
    ユークリッドの互除法  

    どうです、知ってましたか?
    解答は、ここをクリックしてね。  考える人


     (B)については、こんなふうに出題されます。
    互いに素
    
    解答は、ここをクリックしてください。  考える人

    (C)については、整数解問題と同じです。NO.15の解答でも書きましたが、公約数をdとおい
    て積形にもち込
    んでいきました。これによりdの候補が絞れましたよね。


    さて、
最近では「公 約数」の問題は、2009年度神戸大学理系(後期)4番で出題されています。
    見てみましょう。
    神戸大学2009年度

    (3)は(1)のような恒等式が作れるかがポイント。よくにらんでみると見えてきませんか?

    解答は、ここです。よ〜く考えてね。   考える人

    「公倍数」の問題もみておきましょう。2010年度神戸大学理系(前期)2番で出題されています。
    2010神戸大学

    各問とも、「ただし〜」の部分を利用することがポイントです。これって、ヒントが与えられて
    いるんですよね。そして、(2)(3)は対称式の変形と(1)の結論を利用します。つまり、
    「誘導にのれ!」ってことです。
    解答はここをクリックしてね。     考える人




    以上で、なが〜い「整数問題」の講義は終了です。
    整数問題は、パターン学習では網羅しきれません。かなり「ひらめき」が必要となる分野です。
    でも、ここに紹介した「パターン」で脳味噌を鍛えておけば、かなりいい線いきますよ。
    きっと!
    まず、自分の両隣の人よりは実力は上でしょう(あたりまえか・・・・・)

    あとは、エビングハウスの忘却曲線に則って「復習」をちゃんとやってくださいね。






    ホントにおつかれさまでした・・・・・お疲れさん
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